Имеет ли отец или мать право на налоговый кредит за обучение ребенка?

да, они имеют законное право на это.
Только лишь кто-то один из всех трех членов этой семьи может обратиться за налоговым кредитом.

Для того, чтобы иметь право претендовать на возмещение, нужно минимум:
- быть резидентом (гражданином) и налогоплательщиком (иметь код);
- получать в отчетном году налогооблагаемый доход (и что очень важно, одним из таких доходов должна быть зарплата, поскольку сумма возмещения ограничивается размером зарплаты);
- нести в отчетном году расходы (у вас - это оплата за обучение) и иметь подтверждающие оплаты документы;
- сделать самостоятельный (между членами своей семьи) выбор, кто будет обращаться за возмещением в налоговую;
- обратиться в налоговую на протяжение всего (следующего за отчетным) года с Декларацией, заявлением и т.п.

Я понимаю, откуда "вырос" ваш вопрос. Налоговики дают нам противоречивые объяснения нашего права, путают нас всячески, чтобы поменьше нам вернуть. Не слушайте их!

Количество обратившихся за налоговым возмещением из года в год падает! По моим поверхностным (на основании общедоступных данных) оценкам:
- в налоговую обращаются (из-за тотальной дезинформации) лишь около 15% людей, имеющих на то право!
- суммы возмещения (из-за неверного алгоритма расчета) занижаются на 20-50%, при этом ежегодное ограбление граждан составляет около 1 млрд гривен!